Question

三角形ABC中，角A=60度，M为AC的中点，BM=2倍根号3，则AB＋AC的最大值为

三角形ABC中，角A=60度，M为AC的中点，BM=2倍根号3，则AB＋AC的最大值为

Answer 1

解：已知在△ABC中,∠A=60°，过B点作BD⊥AC，交AC于D点，设BD=X，则在RT△ABD中，
AB=BD/sinA=X/√3/2=2√3X/3，AD=AB/2=√3X/3
又在RT△BDM中，根据勾股定理，得
DM=√（BM²-BD²）
=√（12-X²）
设AB+AC=Y AC/2=AM=AD-DM so CD=AC/2-DM=AD-2DM
Y=AB+AC=AB+AD+CD=AB+AD+(AD-2DM)=AB+2AD-2DM
Y=2√3X/3+2√3X/3-2√(12-X²)
Y-4√3X/3=-2√(12-X²)
28X²-8√3YX+3Y²-144=0
上方程未知数为X的判别式：△≥0
(-8√3Y)²-4*28*(3Y²-144)≥0
144Y²≤112*144
Y>0，
Y最大值=√112=4√7
答：（AB+AC）最大值=4√7

Answer 2

根据三角形中线长公式：
BM=1/2*根号(2AB^2+2BC^2-AC^2)=2根号3
2AB^2+2BC^2-AC^2=48
根据余弦定理：
BC^2=AB^2+AC^2-2ABACcosA=AB^2+AC^2-ABAC
所以2AB^2+2AB^2+2AC^2-2ABAC-AC^2=48
4AB^2-2ABAC+AC^2=48
令y=AB，x=AB+AC AC=x-y
4y^2-2y(x-y)+(x-y)^2=48
4y^2-2yx+2y^2+x^2-2xy+y^2=48
7y^2-4xy+x^2-48=0
y^2-4xy/7+x^2/7-48/7=0
(y-2x/7)^2=48/7-3x^2/49
所以当y=2x/7时，48/7-3x^2/49取得最小值0，即x=AB+AC取得最大值4根号7

Answer 3

好复杂，我算半天