Question

求解用微分和隐函数对边际替代率的推导过程！万分感谢！！！！！！！

Answer 1

这个简单。
设两商品数量为x,y, 效用函数为U，则在给定的一条无差异曲线U(x,y) = c（c是常数上），点
(x0,y0)处的边际替代率定义为 -dy/dx | (x=x0, y=y0)，其中y是方程U(x,y) = c所确定的关于x的隐函数。现在求dy/dx | (x=x0, y=y0) 的表达式。
U(x,y) = c，两边求全微分，就有
(U_x, U_y分别表示U对x,y 的偏导数)
U_x * dx + U_y * dy = 0，
从而 -dy/dx = U_x/U_y ，代入坐标(x0,y0)便是这一点的边际替代率MRS。
注：经济学里边际替代率是说放弃一单位商品x，需要多少单位商品y来弥补效用的损失，所以是一个正数，因此用某条无差异曲线上的切线斜率的相反数： -dy/dx 来表示在边际替代率。边际替代率一定要说明是在哪一点的边际替代率，每一个点的边际替代率都不同。如果效用函数是凹的，那么边际替代率便递减。

有问题欢迎继续问~

追问

谢谢啊！好好厉害啊，这个两边求全微分的目的是什么啊？
还有等式两边取数学期望或者导数或者对数，这种做法的目的是什么啊？

追答

没什么目的啊。你不是要用微分证明吗。这些个变化都没什么目的，就是为了方便证明，方便用已知条件，得到想要证的而已。