Question

如图1，直线Y=2X-4分别交X轴、Y轴于B、A两点。交双曲线Y=K/X（x>0）于点C，三角形AOC的面积=8.

在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使角PBC=45°？若存在，求其坐标

Answer 1

存在符合题设条件的P点，使角PBC=45°。
分析：因为AB所在直线(y=2x-4)与X轴正向的夹角大于45°，故过B点可以作一条直线BP,使其与AB(AC)的夹角PBC=45°。

解： 直线y=2x-4与X轴交于B(2,0) ,与Y轴交于A(0，-4).
故直线AB的方程即为：y=2x-4.
直线AB的延长线交双曲线y=k/x (x>0)与C(m,n).
由题设得：S△AOC=(1/2)|OA|*m=8.
|-4|*m=16, 4m=16,
∴m=4.，将其代入直线y=2x-4方程中，∴y=2*m-4=8-4=4,即n=4. 【C点在直线y=2x-4上】。
∴得C点坐标为C(4,4).
又，C(4,4)也在双曲线y=k/x上，将C(4,4)代入其中，得：
k=16.
∴双曲线的方程为：y=16/x (1).
过B(2,0)作直线BP交双曲线(1)与P(x1,y1),使∠PBC=45°。
设直线BP的斜率为k1, 直线AC(AB)的斜率为k2，且已知k2=2.
由两相交直线的夹角与它们的斜率关系的公式，得：
(k2-k1)/(1+k1k2)=tan45°=1.
k2-k1=1+k1k2,
2-1=2k1+k1.
3k1=1.
∴k1=1/3.
从而得到直线BP的方程为： y=(1/3)(x-2) (2) , 【BP过B(2,0)点】。
联解(1)和(2),得：
16/x=(1/3)(x-2).
x(x-2)=48.
x^2-2x-48=0.
( x+6)(x-8)=0.
x=-6, (舍去),
x-8=0, x=8.
将x=8代入(1),得：y=16/8=2.
∴得P点坐标为P(8,2). 即为所求。