Question

【求解】一道高一数学题

已知f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2,θ∈R。
（1）对任意m∈R，求f（θ）的最大值g（m）；
（2）若cos^2θ+2msinθ-2m-2<0对任意θ∈R恒成立，求m的取值范围。
求解，谢谢！！！

Answer 1

一f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2 =-(sinθ-m)^2+m^2-2m-1
①当m >= 1,则f(θ)单调递增(因为sinθ <= 1 <m),所以当sinθ = 1时有最大值-2
②当m < 1,则f(θ)在sinθ < m时单调递增，在m =< sinθ <= 1时单调递减，所以当sinθ = m时有最大值m^2-2m-1
二有上问可知①当m >= 1时，显然f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2<0成立
②当m < 1时，只要m^2-2m-1<0成立即可，解得1-√2<m<1+√2,有m<1,所以1-√2<m<1
综上可知m>1-√2

对不~~~~

Answer 2

将原式展开得f(θ)=-2[sinθ-(m/2)]^2+(m^2)/2-2m-1
因为sinθ∈[-1,1]
所以分类讨论：
m/2<-1时，sinθ=-1时有f(θ)max=g(m)=-4m-3
-1<=m/2<=1时，f(θ)max=g(m)=1/2[(m-2)^2]-3
m/2>1时，sinθ=1时有f(θ)max=g(m)=-3

f（θ）=cos2θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos2θ+2msinθ-2m-2=1-sin2θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）2+m2-2m-1
∴当-1≤m≤1时，函数的最大值为m2-2m-1＜0，解得1-2＜m≤1；
当m≥1时，函数的最大值为f（1）=-2＜0
∴m≥1时均成立；
当m≤-1时，函数的最大值为f（-1）=-4m-2＜0，m＞12，矛盾无解．
综上得m的取值范围是m∈[1-2，+∞]

追问

（1）和答案对不上哎，还有是m<-1等等还是m/2<-1等等？

Answer 3

解：1
f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2,
＝1－2sin²θ+2msinθ-2m-2,
＝－2sin²θ+2msinθ-2m－1
＝－2[sinθ－﹙m／2﹚]²＋m²／2－2m－1
当sinθ－﹙m／2﹚＝0时，f(θ）有最大值是
g（m）＝m²／2－2m－1
2
∵cos^2θ+2msinθ-2m-2
＝－2sin²θ+2msinθ-2m－1
＝－2sin²θ－1+2msinθ-2m
∴若要cos^2θ+2msinθ-2m-2<0对任意θ∈R恒成立
需要 －2sin²θ－1+2msinθ-2m＜0对任意θ∈R恒成立

即2sin²θ＋1＞2msinθ-2m＝2m﹙sinθ－1﹚
∴2m＞﹙2sin²θ＋1﹚／﹙sinθ－1﹚
m＞﹙2sin²θ＋1﹚／2﹙sinθ－1﹚

而﹙2sin²θ＋1﹚／﹙sinθ－1﹚＝[﹙2sin²θ－2﹚＋3]／﹙sinθ－1﹚
＝[﹙2sin²θ－2﹚／﹙sinθ－1﹚]＋3／﹙sinθ－1﹚
＝2﹙sinθ－1﹚﹙sinθ＋1﹚／﹙sinθ－1﹚＋3／﹙sinθ－1﹚
＝2﹙sinθ＋1﹚＋3／﹙sinθ－1﹚
、 ＝ 2﹙sinθ－1﹚＋3／﹙sinθ－1﹚＋3
≤－2√6＋3
∴﹙2sin²θ＋1﹚／2﹙sinθ－1﹚≤﹙－√6﹚＋3／2
∴m＞﹙－√6﹚＋3／2

追问

你的答案也对不上哦！