Question

等边三角形ABC的边长为a.D为AC边上的一个动点.延长AB至E点,使BE=CD.连接DE,交BC于点P

(1)求证:DP=PE (2)若D为AC的中点求BP的长 请写出过程

Answer 1

(1)过E做EQ平行BC交AC延长线于Q
易证三角形ABC与三角形AEQ相似
因为等边三角形
所以AB=AC
所以AE=AQ
所以EB=CQ=CD
易证三角形DPC与三角形DEQ相似
因为DC=CQ
所以DP=PE

(2)因为D为中点
所以DC=CQ=a/2
易证三角形ABC与三角形AEQ相似
BC/EQ=AC/AQ
所以EQ=3a/2
易证三角形DPC与三角形DEQ相似
所以PC/EQ=CD/CQ
PC=3a/4
BP=BC-PC=a/4

Answer 2

（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．
∵△ABC为正三角形，
∴∠CDF=∠A=60°．
∴△CDF为正三角形．
∴DF=CD．
又BE=CD，
∴BE=DF．
又DF∥AB，
∴∠PEB=∠PDF．
∵在△DFP和△EBP中，
∠BPE=∠FPD，∠PEB=∠PDF，BE=FD，
∴△DFP≌△EBP．
∴DP=PE．

（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．
∵D为AC中点，DF∥AB，
∴BF=12BC=12a．
∴BP=12BF=14a．