Question

已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项分别为An和Bn，且An/Bn=7n+45/n+3，则使得an/bn为整数的正整数n的个数

Answer 1

解答此题有3个关键的地方

1是能通过等差数列的前n项和与等差中项公式由An/Bn得到an/bn的表达式

2是通过设一个整数参数k来简化计算

3是能想到有限列举出 2≤12/(k-7)≤12 的所有整数解

若LZ还有什么不明白的地方可追问

希望我的回答对你有帮助

Answer 2

设an=a1+(n-1)d1 bn=b1+(n-1)d2
An=[2a1+(n-1)d1]*n/2
Bn=[2b1+(n-1)d2]*n/2
An/Bn=(7n+45)/(n+3)
A1/B1=a1/b1=52/4=13 a1=13b1
A2/B2=(2a1+d1)/(2b1+d2)=59/5 10a1+5d1=118b1+59d2
130b1+5d1=118b1+59d2
59d2-5d1=12b1
A3/B3=(3a1+3d1)/(3b1+3d2)=66/6=11 a1+d1=11b1+11d2
13b1+d1=11b1+11d2
11d2-d1=2b1
4d2=2b1
d2=b1/2
d1=7b1/2
an/bn=(a1+(n-1)d1)/(b1+(n-1)d2)
=(13b1+(n-1)*7b1/2)/(b1+(n-1)*b1/2)
=(19+7n)/(1+n)
=(7n+7+12)/(n+1)
=7+12/(n+1)
要使an/bn为整数的正整数只有1，2，3，5，11，共5个。

Answer 3

解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得an/ bn =[1/ 2 (a1+a2n-1)] /[1 /2 (b1+b2n-1) ]=[1 /2 (2n-1)(a1+a2n-1)] /[1 /2 (2n-1)(b1+b2n-1)] =A2n-1/ B2n-1 =[7(2n-1)+45]/ [(2n-1)+3] =(14n+38)/ (2n+2) =(7n+19)/( n+1) =7+12 /(n+1) （n∈N*），
故n=1，2，3，5，11时，an /bn 为整数．

Answer 4

那什么推荐的答案，真难看懂！！最简单的方法就是别管什么等差数列公式，只需要满足An/Bn=7n+45/（n+3）是整数就行了，也就是7n+45/n+3=[7(n+3)+24]/（n+3）=7+24/（n+3）,那么只需要24/(n+3)是整数就行了，所以很容易得出n=1、3、5、9、21