Question

证明函数f（x）=（x2+1）/（x4+1） 在定义域R内有界

Answer 1

结果为：在定义域R内有界

解题过程如下：

∵定义域为R

令t=x^2>=0

则f=(t+1)/(t^2+1)=t/(t^2+1)+1/(t^2+1)

t=0时，f=1

t>0时，f=1/(t+1/t)+1/(t^2+1)

∵t+1/t>=2

∴0<1/(t+1/t)<=1/2

∵0<1/(t^2+1)<1

∴0<f<=3/2

∴在R内有界

扩展资料

有界函数判定方法：

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界 。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。

Answer 2

定义域为R，
令t=x^2>=0
则f=(t+1)/(t^2+1)=t/(t^2+1)+1/(t^2+1)
t=0时，f=1
t>0时，f=1/(t+1/t)+1/(t^2+1)
因为t+1/t>=2, 故0<1/(t+1/t)<=1/2
0<1/(t^2+1)<1
因此有：0<f<=3/2
因此在R内有界。

追问

∣f(x)∣=∣(x^2+1)/(x^4+1)∣≤(x^2+1)^2/(x^4+1）
=(x^4+1+2x^2)/(x^4+1)=1+2x^2/(x^4+1)≤1+1=2
故f(x)在R内有界
书上是这样写的，1+2x^2/(x^4+1)≤1+1 这一步没看懂

追答

这是用公式：2ab<=a^2+b^2
a=x^2, b=1
因此有：2x^2<=x^4+1
2x^2/(x^4+1)≤1
1+2x^2/(x^4+1)≤1+1

Answer 3

不等式的性质嘛。a>0,b>0,则a+b≥2√ab。