Question

已知函数f（x）=ax3+bx+c（a不等于0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，

f（x）的导数f '（x）的最小值为-12.
求（1）a，b，c。
（2）函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，

∴f（-x）=-f（x）

即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c

∴c=0

∵f'（x）=3ax2+b的最小值为-12

∴b=-12

又直线x-6y-7=0的斜率为16

因此，f'（1）=3a+b=-6

∴a=2，b=-12，c=0．

（Ⅱ）f（x）=2x3-12x．f′(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)，列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是(-∞，-2)和(2，+∞)

∵f（-1）=10，f(2)=-82，f（3）=18

∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(2)=-82．

Answer 2

函数为奇函数：f(-x)=-f(x)
即：-ax3-bx+c=-ax3-bx-c 那么 c=0
函数的导数为：f'(x)=3ax2+b
导数存在最小值说明曲线方向朝上a为正值 当x=0时 导函数为最小值 那么b=-12
又：在（1，f（1））处切线与x-6y-7=0垂直 （1，f（1））处斜率为-6
则f'(1)=3a-12=-6 a=2

Answer 3

f（x）=ax^3+bx+c（a不等于0）为奇函数, 则c=0
f'(x)=3ax^2+b
在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直, 即f'(1)=3a+b=-6
f '（x）的最小值为-12, 即a>0, b=-12,
由上，解得：a=2
故有：f(x)=2x^3-12x, , a=2, b=-12, c=0
2）f'(x)=6x^2-12=6(x^2-2)=0, 得极值点：x=-√2, √2
极小值f(√2)=4√2-12√2=-8√2
极大值f(-√2)=-f(√2)=8√2, 不在区间[-1,3]内
f(-1)=-2+12=10
f(3)=54-36=18
因此在[-1,3]的最大值为f(3)=18, 最小值为：f(√2)=-8√2

Answer 4

f（x）=ax3+bx+c（a不等于0）为奇函数
c=0
f(x)=ax3+bx
f'(x)=3ax^2+b
在点（1，f（1））处切线与直线x-6y-7=0垂直
把点代入得
3a+b=-6　　（1）
导数f '（x）的最小值为-12，即
b=-12
所以a=4
f(x)=4x^3-12x
f')x)=12x^2-12=0
x=±1
f(1)=-8,f(-1)=16
f(3)=96
所以函数f（x）在[-1，3]上的最大值96和最小值－8