Question

设g(x,y)连续，f(x,y)=|x-y|g(x,y),研究函数f(x,y)在（0,0）处的可微性

设g(x,y)连续，f(x,y)=|x-y|g(x,y),研究函数f(x,y)在（0,0）处的可微性

Answer 1

af/ax=lim 【f(x，0)－f(0，0)】/(x－0)=lim |x|g(x，0)/x，只有g(0，0)=0时极限才存在且为0。
同理af/ay=0，条件也是g(0，0)=0。再看
【f(x，y)－f(0，0)－x*af/ax－y*af/ay】/根号(x^2+y^2)＝|x－y|g(x，y)/根号(x^2+y^2)
注意到|x－y|<=|x|+|y|<=2根号(x^2+y^2)，因此上式在g(0，0)=0时有极限0，于是f(x，y)在原点可微。
综上，当g(0，0)=0时f可微，否则不可微。

Answer 2

af/ax=lim
【f(x，0)－f(0，0)】/(x－0)=lim
|x|g(x，0)/x，只有g(0，0)=0时极限才存在且为0。
同理af/ay=0，条件也是g(0，0)=0。再看
【f(x，y)－f(0，0)－x*af/ax－y*af/ay】/根号(x^2+y^2)＝|x－y|g(x，y)/根号(x^2+y^2)
注意到|x－y|<=|x|+|y|<=2根号(x^2+y^2)，因此上式在g(0，0)=0时有极限0，于是f(x，y)在原点可微。
综上，当g(0，0)=0时f可微，否则不可微。

Answer 3

af/ax=lim
【f(x，0)-f(0，0)】/(x-0)=lim
|x|g(x，0)/x，只有g(0，0)=0时极限才存在且为0。
同理af/ay=0，条件也是g(0，0)=0。再看
【f(x，y)-f(0，0)-x*af/ax-y*af/ay】/根号(x^2+y^2)=|x-y|g(x，y)/根号(x^2+y^2)
注意到|x-y|<=|x|+|y|<=2根号(x^2+y^2)，因此上式在g(0，0)=0时有极限0，于是f(x，y)在原点可微。
综上，当g(0，0)=0时f可微，否则不可微。