Question

离散数学证明题.

设R是A上的自反和传递关系,S是A上的二元关系,当且仅当(a,b)属于R且(b,a)也属于R时有(a,b)属于S,证明S是A上的等价关系

Answer 1

证明：
自反性：令a=b，显然(a,b)=(b,a)=(a,a)∈R，故(a,a)∈S，S具有自反性
对称性：若(a,b)∈S，则说明(a,b)∈R且(b,a)∈R，于是自然(b,a)∈S。故S具有对称性
传递性：若(a,b)∈S，(b,c)∈S，则说明(a,b)∈R，(b,a)∈R，(b,c)∈R，(c,b)∈R
因为R具有传递性，所以由(a,b)∈R和(b,c)∈R得出(a,c)∈R，由(c,b)∈R和(b,a)∈R得出(c,a)∈R，得到(a,c)∈S。故S具有传递性
综合上述：S在A上具有自反性，对称性，传递性。S是A上的等价关系。