Question

设f(x)=x^3+ax^2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a-6,f'(2)=-b-18,a.b属于R 若方程f(x)=k有三个不相等的实数根

且函数g(x)=x^2-2kx+1在[-1,2]上的最小值为-23，求实数k的值

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(1)=3+2a+b=2a-6, 得：b=-9
f'(2)=12+4a+b=12+4a-9=3+4a=-b-18=-9, 得：a=-3
因此f(x)=x^3-3x^2-9x+1
f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)
极值点为x=3, -1
极大值f(-1)=-1-3+9+1=6
极小值f(3)=27-27-27+1=-26
因此当-26<k<6时，f(x)=k有三个不等实根
g(x)=(x-k)^2+1-k^2
若-1=<k<=2, 则最小值为g(k)=1-k^2=-23, 得：k^2=24, 得k=2√6 or -2√6， 不符
若k>2, 则最小值为g(2)=5-4k=-23, 得：k=7， 不符合-26<k<6的范围
若k<-1, 则最小值为g(-1)=2+2k=-23, 得：k=-25/2, 符合。
因此综合得：k=-25/2