Question

有关初中数学一个求最小值的问题。

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　）

这个题，我认为是过点D做DQ⊥AE,过点Q做QP⊥AD，但我同学说这样做不对，而且这个做法我也解不出来，那这个题该怎么做，我这么做为什么不对？

Answer 1

你这么做，就代表了Q点已经固定在AE上了，与题意不符。
正确解法应该是PQ+QD可以理解为P点相对于AE在AC上的投影点P1，求P1Q+QD的最小值，就相当于P、Q、D在一条直线上时就最短

追问

你这么做，就代表了Q点已经固定在AE上了，与题意不符。

这句话什么意思，怎么于题意不符了？

追答

你做了垂直线，就代表你自己想的Q点已经是那个垂直线的交点了，那个Q店就不会再移动，而题上已知是Q是一个动点，就是这样的

追问

那你那个方法也就是做AC的垂线。那不一样也是固定了么

追答

我那个不是做AC的垂线，而是求D导AE上的最短线，而垂线的距离最短，所以PQ+QD才是最短的

Answer 2

解：

Answer 3

1.过D作DF垂直于AE交AC于点F，过F作FP交AD于P交AE于点Q，则P、Q所在的位置就是DQ+PQ取得最小值的位置。最小值是2倍根号2。

2.作P关于直线AE的对称点P1，则P1在直线AC上，当DP1垂直于AC时，DP1与AE交点就是Q，则DQ+PQ=DP1，结果一样。

追问

第一个结果怎么求的？

Answer 4

对的啊