Question

如图，平行四边形abcd的对角线ac，bd相交于点o，直线ef经过点o，分别于ab，cd相交

求证：四边形aecf是平行四边形。

说明四边形afed和四边形bfec的周长或面积的数量关系

Answer 1

连接ae、fc。
af平行ec
证三角形aof全等于三角形eoc
（对顶角、对角线、内错角）得出四边形aecf是平行四边形。

Answer 2

证明：（1）因为 ABCD是平行四边形，
所以 AO=CO，AB//DC，
所以 角EAC=角FCA，角AEF=角CFE，
所以 三角形AOE全等于三角形COF，（角，角，边）
所以 EO=FO，
因为 AO=CO，EO=FO，
所以 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
（2）四边形AEFD和四边形BEFC的周长和面积都是相等的。
因为 三角形AOE全等于三角形COF，
所以 AE=CF，
因为 ABCD是平行四边形，
所以 AB=CD，AD=BC
所以 EB=FD，
所以 四边形AEFD的周长=四边形BEFC的周长。
因为 三角形AOE全等于三角形COF，
同理： 三角形BOE全等于三角形DOF，
三角形AOD全等于三角形BOC，
又 四边形AEFD的面积=三角形AOE的面积+三角形AOD的面积+三角形DOF的面积
四边形BEFC的面积=三角形COF的面积+三角形BOC的面积+三角形BOE的面积
所以 四边形AEFD的面积=四边形BEFC的面积。