Question

在△ABC中，已知AB=4,AC=7,BC中线AD=7/2,求(1)BC的长(2)△ABC的面积。

Answer 1

解：(1) BD=CD=BC/2，∠ADC=180°-∠ADB
在△ADB中，AB²=BD²+AD²-2BD•ADcos∠ADB
16=BD²+(7/2)²-7BDcos∠ADB [1]
在△ADC中，AC²=CD²+AD²-2CD•ADcos∠ADC
49=CD²+(7/2)²-7CDcos∠ADC
49=BD²+(7/2)²-7BDcos∠ADB [2]
[1]+[2]得： BD=9/2 BD=-9/2 （舍去）
BC=2BD=9
(2)BC²=AB²+AC²-2AC•BCcos∠BAC
cos∠BAC=-2/7，∠BAC为钝角
sin∠BAC=3√5/7
S( △ABC)=(1/2)AB•ACsin∠BAC=6√5

Answer 2

过 D作DE//AB，交AC于E
∵D是BC的中点，DE//AB
∴E是AC的中点，AE=1/2AC=7/2 且DE=1/2AB=2
在三角形ADE中
cos<DAE=(AD²+AE²-DE²)/2AD*AE=(49/4+49/4-4)/(2×49/4)=(49+49-16)/98=82/98=41/49
在三角形ACD中
CD²=AD²+AC²-2AD*AC cos<DAE=49/4+49-2×7/2×7×41/49=49/4+49-41=49/4+8=81/4
∴CD=9/2
BC=2CD=9
2)
∵sin<DAE=√[1-(41/49)²]=√(1+41/49)(1-41/49)=√(90/49)(8/49)=12√5/49
△ABC的面积S=2△ACD的面积=2(1/2 AD*ACsin<DAE)=7/2×7×12√5/49=6√5