Question

已知向量OB=(2,0),向量OC=(0,2),向量CA=(√3cosa,√3sina)求向量OA与向量OB的夹角

范围- -

Answer 1

OA
=OC+CA
=(0,2)+(√3cosα,√3sinα)
=(√3cosα,2+√3sinα)

|OA|
=√[(√3cosα)²+(2+√3sinα)²]
=√(3cos²α+4+4√3sinα+3sin²α)
=√(7+4√3sinα)

OA·OB
=(√3cosα,2+√3sinα)·(2,0)
=2√3cosα

OA·OB
=|OA|·|OB|·cos∠AOB
=√(7+4√3sinα) * 2 * cos∠AOB

所以：
√(7+4√3sinα) * 2 * cos∠AOB = 2√3cosα
cos∠AOB = √3cosα / √(7+4√3sinα)

令√(7+4√3sinα)=t，
则sinα=(t²-7)/(4√3)
cosα=√(1-sin²α)=√[1-(t²-7)²/48]=(1/12)* √[√3 *(14t²-t^4-1)]

cos∠AOB
= √3*cosα / √(7+4√3sinα)
=(√3/12)* √[√3 *(14t²-t^4-1)] / t

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晕，太难算了

Answer 2

因为OA向量=OC向量+CA向量=（√3cosa,2+√3sina），
所以cos<OA,OB>=OA、OB向量的数量积/（|OA|*|OB|）=(2√3cosa)/2*(3cosa+(2+√3sina)^2，算出这个结果即可。
这个问题不难，如果上完高中数学还不会这道题那就……