advanced mathmatics~~~高等数学】一道经典的三重积分题目的解答,该如何理解?希望详细解析

具体请看图!我的具体问题:1)rs,是什么东东?表示什么?怎么得到的?2)I,怎么得到的?因为分数只有18,加不上去【百度规定吧可能】,请谅解!我思考了很多天啦,但似乎真... 具体请看图!我的具体问题:1)rs,是什么东东?表示什么?怎么得到的?2)I,怎么得到的?因为分数只有18,加不上去【百度规定吧可能】,请谅解!我思考了很多天啦,但似乎真的找不到丝毫头绪啊!茫然无绪,真的是这样子!哪怕,您给我提示一哈,也行!那么,我可以尝试着自己运算和画图看看~~~~THANKS A LOT! 展开
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玄色龙眼
2016-09-02 · 知道合伙人教育行家
玄色龙眼
知道合伙人教育行家
采纳数:4606 获赞数:28261
本科及研究生就读于北京大学数学科学学院

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或者好像是我之前的回答。。。

先说换元的想法,就是像你画的图那样,圆片从下往上运动就得到积分区域,所以x,y用圆的参数方程来表示,半径弄清楚与z的关系就行了。

最后的两个问题其实是一个问题,就是Jacobian矩阵行列式计算。

然后x^2+y^2=r^2,dxdydz=rsdrdθds代入并注意范围就行了。


有问题追问。

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追问

首先表示极端感谢!然后,十分不好意思,力有不逮,只好继续追问

________________________________

继续发出疑问:是不是说,这个“环元变量”S,内含x,y两个参变量,

所以,就导致了:先对r积分,然后,再对S积分?

【但我仔细想了想,好像也不对!嗯~~~我苦苦冥想,也想不出个理由来啦】

追答

积分顺序可以任意,关键在于换顺序后积分上下限也要变

sjh5551
高粉答主

2016-09-02 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
回答量:3.8万
采纳率:63%
帮助的人:8134万
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其实这里用的是柱坐标, s 就是 z (根本不必要写成 s).
直角坐标面积微元化为极坐标的面积微元的公式是 dxdy = rdrdt
本题解法应为: 用柱坐标
I = ∫<0, 2>dz∫<0, 2π>dt∫<0,√(2z)> r^2 rdr
= ∫<0, 2>dz∫<0, 2π>dt[r^4/4]<0,√(2z)>
= 2π∫<0, 2> z^2 dz = 2π[z^3/3]<0, 2> = 16π/3
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追问

LAOSHI老师:

常规解法,我想,一般99%的工科生,应该会采用常规解法~~~

那么,就得需要用柱坐标来做。

我想一般是,绝然不会想到Jacobian  determinant的~~~因为基本上,工科生

不打会接触到用雅可比方法来解决三重积分的习题和例题

________________________________

另外,老师我请您看一哈图中连接中的问题,可以吗?我觉得“非常数学专业”

追答
后面这个链接是球坐标问题。
直角坐标体积微元化为球坐标的体积微元的公式是
dxdydz = r^2sinφdrdθdφ
是由雅克比公式导出的。
不过工科学生记住它就行了,不必太追究如何导出。
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
= ∫∫∫f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r^2sinφdrdθdφ
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