Question

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G

（1）直线FC与圆O有何位置关系？说明理由。
（2）若OB=BG=2，求CD的长。
（3）求证：△AFC≌△GEC

Answer 1

解：（1）直线FC与⊙O相切；
证明：连接OC，
∵直径AB垂直于弦CD，
∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，cosCOG=1/2，
∴∠COG=60°．
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=1×根号3/2=根号3/2．
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=根号3．

（3）∵∠F=∠CEG=90°
CE=FC
∠FAC=∠CGE
所以：△AFC≌△GEC

Answer 2

：（1）直线FC与⊙O相切；
证明：连接OC，
∵直径AB垂直于弦CD，
∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；
（2）在Rt△OCG中，，
∴∠COG=60°．
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=1×=．
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=．