Question

等比数列｛an｝的各项均为正数，2a4，a3，4a5成等比数列，且a3＝2a2的平方. ①求数列｛an｝的通项公式...

等比数列｛an｝的各项均为正数，2a4，a3，4a5成等比数列，且a3＝2a2的平方.
①求数列｛an｝的通项公式
②设bn=2n+5/(2n+1)(2n+3)再乘以an,求数列{bn}的前n项和Sn.
谁会?帮帮忙。要过程，谢谢。

Answer 1

等比数列an的各项均为正数 an>0 a1≠0,公比q>0 (2a4),(a3),(4a5)成等差数列 2a3=2a4+4a5 2a1*q^2=2a1*q^3+4a1*q^4 解得 q=1/2或q=-1(舍去） a3=2a2^2 a1*q^2=2a1^2*q^2 解得 a1=1/2 数列an的通项公式 an=2^(-n) 求数列bn的前n项和sn 用列项求和法求解 bn=[(2n+5)/(2n+1)(2n+3)]an bn=[2/(2n+1)-1/(2n+3)]*2^(-2) bn=1/(2n+1)*2^(1-n)-1/(2n+3)*2^(-n） b1=1/3-1/5*2^(-1) b2=1/5*2^(-1)-1/7*2^(-2) b3=1/7*2^(-2)-1/9*2^(-3) ………………… bn-1=1/(2n-1)*2^(2-n)-1/(2n+1)*2^(1-n） bn=1/(2n+1)*2^(1-n)-1/(2n+3)*2^(-n） 累加得 sn=1/3-1/(2n+3)*2^(-n） 解毕

Answer 2

设等比数列的公比是q,则有a3=a1q^2,a4=a1q^3,a5=a1q^4
2a4,a3,4a5成等比数列,则有a3^2=2a4*4a5
(a1q^2)^2=8a1q^3*a1q^4=8a1^2q^7
q^3=1/8
q=1/2.
a3=2a2^2
a1q^2=2(a1q)^2=2a1^2q^2
得到a1=1/2.
故有an=a1q^(n-1)=(1/2)^n.
(2)bn=[(2n+5)/(2n+1)(2n+3)]*an=[(n+5/2)*(1/(2n+1)-1/(2n+3)]*(1/2)^n