Question

三角形ABC内点O满足，a向量OA+b向量OB+c向量OC=0向量，证明O为内心

Answer 1

设△ABC的内切圆半径为r
则 S△BOC = (1/2)*a*r = (1/2)*|OB|*|OC|*sin∠BOC
a = (|OB|*|OC|/r)*sin∠BOC
同理 b=(|OC|*|OA|/r)*sin∠COA, c=(|OA|*|OB|/r)*sin∠AOB
a*OA+b*OB+c*OC
= (|OB|*|OC|/r)*sin∠BOC*OA+(|OC|*|OA|/r)*sin∠COA*OB+(|OA|*|OB|/r)*sin∠AOB*OC
=(|OA|*|OB|*|OC|/r)*(sin∠BOC/|OA|*OA+sin∠COA/|OB|*OB+sin∠AOB/|OC|*OC) ........(1)
过A作AP∥OB交CO延长线于点P，则
△APO中，∠PAO=π-∠AOB，∠POA=π-∠COA，∠APO=∠BOP=π-∠BOC
且AP∥OB，PO与OC共线，因此AP=|AP|/|OB|*OB，PO=|PO|/|OC|*OC，OA=|OA|/|OA|*OA
由OA+AP+PO=0得：|OA|/|OA|*OA + |AP|/|OB|*OB + |PO|/|OC|*OC=0 .........................(2)
设△APO的外接圆半径为R，由正弦定理：
|OA|=2Rsin∠APO=2Rsin∠BOC，|AP|=2Rsin∠POA=2Rsin∠COA，|PO|=2Rsin∠PAO=2Rsin∠AOB
代入(2)式得：2Rsin∠BOC/|OA|*OA + 2Rsin∠COA/|OB|*OB + 2Rsin∠AOB/|OC|*OC=0
即 sin∠BOC/|OA|*OA + sin∠COA/|OB|*OB + sin∠AOB/|OC|*OC=0
代入(1)式得：a*OA+b*OB+c*OC=0