Question

一道立体几何题。。我想到一半想不出来了

如图，正方形ABCD边长为a，s∉平面ABCD，且SA=SB=SC=SD=2a P,Q分别在BD，SC上 BP:PQ=1:2 PQ//平面SAD 求PQ的长
我添了辅助线 过Q作QF//DC交DC于F 过P作//DC//AB交AD于E 然后怎么证明四边形PEFQ为平行四边形？

Answer 1

你可能是忙中出错了！条件中的BP∶PQ＝1∶2，应该是BP∶PD＝1∶2。
若是这样，由方法如下：
过P作PE∥BA交AD于E，过Q作QF∥CD交SD于F。
∵ABCD是正方形，∴BA∥CD，又PE∥BA、QF∥CD，∴PE∥QF。
∵PE∥QF，∴P、Q、F、E共面，∴FE是平面SAD、平面PQFE的交线，而PQ∥平面SAD，
∴PQ∥EF，结合证得的PE∥QF，得：PQFE是平行四边形，∴EF＝PQ、EP＝QF。

∵BP∶PD＝1∶2，∴PD＝2BP，∴PD＋2PD＝2BP＋2PD＝2BD，∴PD/BD＝2/3。
∵PE∥BA，∴△DEP∽△DAB，∴DE/AD＝EP/AB＝DP/BD＝2/3，
∴DE＝（2/3）AD＝2a/3、EP＝（2/3）AB＝2a/3，∴QF＝EP＝2a/3。

∵QF∥CD，∴△SQF∽△SCD，∴SF/SD＝QF/CD＝（2a/3）/a＝2/3，
∴SF＝（2/3）SD＝4a/3，∴DF＝SD－SF＝2a－4a/3＝2a/3。

取AD的中点为M。
∵SA＝SD、AM＝DM，∴SM⊥DM，∴cos∠EDF＝DM/SD＝（a/2）/（2a）＝1/4。
由余弦定理，有：
EF^2＝DE^2＋DF^2－2DE×DFcos∠EDF，
∴EF^2＝4a^2/9＋4a^2/9－2×（2a/3）×（2a/3）×（1/4），
∴EF^2＝8a^2/9－2a^2/9＝6a^2/9，
∴EF＝√6a/3。
∴PQ＝√6a/3。

注：若原题的条件不是我所猜测的那样，则请你补充说明。