Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心AA1=2根号2 C1H垂直于AA1B1B 且C1H=根号5 （Ⅰ）求...

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心AA1=2根号2 C1H垂直于AA1B1B 且C1H=根号5
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

Answer 1

如图取坐标系H﹙000﹚,A﹙200﹚,B﹙020﹚,C1﹙00√5﹚

则A1﹙0,-2,0﹚B1﹙-2,0,0﹚,C﹙2,2,√5﹚

（Ⅰ）AC＝﹛0,2,√5﹜,A1B1＝﹛-2,2,0﹜,

cos﹤AC,A1B1﹥＝AC•A1B1/﹙|AC||A1B1|﹚＝√2/3

（Ⅱ）A1C1×AA1＝﹛2√5,-2√5,4﹜.AA1C1法向量取n1＝﹛√5,-√5,2﹜

A1C1×A1B1＝﹛-2√5,-2√5,4﹜..A1C1B1法向量取n2＝﹛-√5,-√5,2﹜

cos﹙二面角A-A1C1-B1﹚＝2/7  ,二面角A-A1C1-B1的正弦值＝3√5/7.

﹙Ⅲ﹚N﹙-1,0,√5/2﹚设M﹙x,y,0﹚ MN＝﹛-1-x,-y,√5/2﹜

MN⊥A1C1B1  ∴MN＝tn2  t＝√5/4   x＝1/4  y＝5/4  BM＝√10/4