Question

x²/（1+x的4次方） 的积分怎么算？

Answer 1

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx

= ∫ dx/(1+x^2) -∫ dx/(1+x^2)^2

=arctanx -∫ dx/(1+x^2)^2

x=tany

dx = (secy)^2 dy

∫ dx/(1+x^2)^2

=∫ (cosy)^2 dy

=(1/2)∫ (1+cos2y) dy

=(1/2)[ y+(1/2)sin(2y) ]

=(1/2)[ arctanx +( x/(1+x^2) ) ]

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx

=arctanx -∫ dx/(1+x^2)^2

=arctanx -(1/2)[ arctanx +(x/(1+x^2)) ]

=(1/2)arctanx -(1/2)[x/(1+x^2)] + C

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

Answer 3

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx
= ∫ dx/(1+x^2) -∫ dx/(1+x^2)^2
=arctanx -∫ dx/(1+x^2)^2
let
x=tany
dx = (secy)^2 dy
∫ dx/(1+x^2)^2
=∫ (cosy)^2 dy
=(1/2)∫ (1+cos2y) dy
=(1/2)[ y+(1/2)sin(2y) ]
=(1/2)[ arctanx +( x/(1+x^2) ) ]
∫ x^2/(1+x^2)^2 dx
=arctanx -∫ dx/(1+x^2)^2
=arctanx -(1/2)[ arctanx +(x/(1+x^2)) ]
=(1/2)arctanx -(1/2)[x/(1+x^2)] + C