Question

已知a、b、c、d均为实数，且a平方+b平方=1.c平方+d平方=1.求证丨ac+bd丨小于等于1

Answer 1

根据已知。
|ac+bd丨≤1
则(ac+bd)^2≤1
(ac)^2+(bd)^2+2abcd≤1
又(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1
(ac)^2+(bd)^2=1-(bc)^2-(ad)^2
代入不等式得1-(bc)^2-(ad)^2+2abcd≤1
整理得(bc)^2+(ad)^2-2abcd≥0
(bc-ad)^2≥0
原等式成立

Answer 2

|ac+bd丨≤1
则(ac+bd)^2≤1
(ac)^2+(bd)^2+2abcd≤1
又(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1
(ac)^2+(bd)^2=1-(bc)^2-(ad)^2
代入不等式得1-(bc)^2-(ad)^2+2abcd≤1
整理得(bc)^2+(ad)^2-2abcd≥0
(bc-ad)^2≥0
原等式成立

Answer 3

因为a2+b2=1，c2+d2=1
所以(a2+b2)(c2+d2)=1，
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=1
a2c2 +b2d2=1-a2d2-b2c2
(ac+bd) 2=a2c2 +b2d2+2abcd
=1-a2d2-b2c2+2abcd
=1-(ad-bc)2≤1
所以｜ac+bd｜≤1