Question

如图9，圆O的半径为1，P是圆O上一点，弦AB垂直平分线段OP，D是弧上任一点（与端点A,B不重合），

DE垂直AB于点E，以点D为圆心DE长为半径作圆D，分别过点A,B作圆D的切线，两条切线相交于点C。（1）求弦AB的长：（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的度数;若不是，请说明理由;（3）记△ABC的面积为S，若DE²分之S=4根号3，求△ABC的周长。

Answer 1

（1）
∵AB垂直平分OP
∴AP=AO，BP=BO
∵AO=BO=PO=圆O的半径=1
∴⊿AOP和⊿BOP都是等边三角形且全等
设AB与PO相交于F
则PF=½
∴AF=√（AP²-PF²）=√3/2
∴AB=2AF=√3【∵PO⊥AB垂径定理】
（2）
∵∠APB=∠APO+∠BPO=120º
∴∠ADB=120º【同弧所对的圆周角相等】
∴∠DAB+∠DBA=180º-∠ADB=60º
则∠CAB+∠CBA=2（∠DAB+∠DBA）=120º
∴∠ACB=180º-（∠CAB+∠CBA）=60º
（3）
S⊿ABC=S⊿ABD+S⊿BCD+S⊿ACD=½AB×DE+½BC×DE=½AC×DE【D点到三边距离相等】
=½（AB+BC+AC）×DE
½（AB+BC+AC）×DE╱DE²=4√3
AB +BC +AC=8√3DE

Answer 2

(1)连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=1/2OP=1/2,AF=BF，
在Rt△OAF中
∴AF²=OA²-OF²=√3/2
∴AB=2AF=√3
(2））∠ACB是定值．
理由：连接AD、BD，
由（1）得，OF=1/2,AF=√3/2
∴tan∠AOP=AF/OF=√3
∴∠AOP=60°，
∴∠ADB=120°，
∵点D为△ABC的内心，
∴∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，
∵∠DAE+∠DBA=1/2∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°

Answer 3

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