Question

月球半径约为地球半径1/4，月球的质量是地球质量的1/96（1）月球表面的重力加速度大约为？（2）当月球上要

发射一颗环月卫星，则最小发射速度多少？（3）当初（1969年7月），美国的“阿波罗2号”宇宙飞船等月成功是，并不知道以上数据，宇航员阿姆斯特朗，他是去和借助一只手表就可测出月球的平均密度的，推导最终表达

Answer 1

设一个天体的质量是M，半径是R，该天体表面的重力加速度是 g1，它的第一宇宙速度（等于最小发射速度）是V1
则有　GM m卫 / R^2＝m卫* V1^2 / R＝m卫*g1
得　g1＝GM / R^2
　V1＝根号（GM / R）
（1）由题目条件：R月＝R地 / 4　，M月＝M地 / 96
得　月球表面的重力加速度是
　g月＝g地*（M月 / M地）/（R月 / R地）^2＝9.8*（1 / 96）/（1 / 4）^2＝9.8 / 6＝1.63 m/s^2

（2）月球上发射环月卫星的最小发射速度是
　V1月＝V1地*根号[ (M月 / M地) / ( R月 / R地) ]＝7.9*根号 [ (1 / 96) / (1 / 4) ]＝1.61 千米 / 秒

（3）当飞船在月球表面附近环绕月球运动时，飞船的轨道半径可认为等于月球半径，这时宇航员可通过手表测出飞船绕月球运动的周期T，就可估算出月球的平均密度ρ　。
推导：由万有引力提供向心力，得
G*M月*m船 / R月^2＝m船*（2π / T）^2 * R月
得　M月＝（2π / T）^2 * R月^3 / G
而月球的体积是　V月＝4π*R^3 / 3
所以月球的平均密度是　ρ＝M月 / V月＝[ （2π / T）^2 * R月^3 / G] /（4π*R^3 / 3）＝3π / (G*T^2)