Question

已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=4/3x-1/2,被圆M所截得的弦长为根号3，且圆心M在直线l的下方

（1）求圆M的方程（2）设A(0，t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值

Answer 1

(1)
L：y=(4/3)x-1/2 ， 即：4x-3y- 3/2=0
设圆心M(a，0)
弦长的一半为√3/2，半径r=1
∴M到直线L的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2
又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²)
∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2
∴a=1或 -1/4
即M(1，0)或(-1/4，0)
又∵M在直线L下方
∴M(1，0)
即圆M：(x-1)²+y²=1

(2)
设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则：
直线AC的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0
直线BC的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0
联立AC、BC，得：
C点的横坐标为 X(C)=6/(k1-k2)
∵|AB|=t+6-t=6
∴S=(1/2)·|AB|·|X(C)|=18/(k1-k2) (画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0)
∵AC、BC与圆M相切
∴圆心M到AC的距离 d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t)
圆心M到BC的距离 d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)]
∴k1-k2=(1-t²)/(2t) - [1-(t+6)²]/[2(t+6)] = 3(t²+6t+1)/(t²+6t)
∴S=18/(k1-k2) (已证)
=6(t²+6t)/(t²+6t+1)
=6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1)
=6 [ 1 - 1/(t²+6t+1) ]
∵-5≤t≤-2
∴-2≤t+3≤1
∴0≤(t+3)²≤4
∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4
∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2
S(min)=6(1 + 1/8)=27/4