Question

高中数学数列题

求详细过程

Answer 1

(1)
n≥2时，ana(n-1)+an-2a(n-1)=0
等式两边同除以ana(n-1)
1+1/a(n-1) -2/an=0
2(1- 1/an)=1- 1/a(n-1)
(1- 1/an)/[1- 1/a(n-1)]=½，为定值
1- 1/a1=1- 1/2=½
数列{1- 1/an}是以½为首项，½为公比的等比数列
1- 1/an=½·½ⁿ⁻¹=½ⁿ

an=2ⁿ/(2ⁿ-1)
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ-1)

(2)
ana(n+1)/2ⁿ
=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹-1)]/2ⁿ
=2[1/(2ⁿ-1) -1/(2ⁿ⁺¹-1)]
a1a2/2+ a2a3/2²+...+ana(n+1)/2ⁿ
=2[1/(2-1) -1/(2²-1)+ 1/(2²-1) -1/(2³-1)+...+1/(2ⁿ-1) -1/(2ⁿ⁺¹-1)]
=2[1- 1/(2ⁿ⁺¹-1)]
=(2ⁿ⁺²-4)/(2ⁿ⁺¹-1)