Question

已知半径为5的圆的圆心在X轴上，圆心的横坐标是整数，且与4x＋3y-29=0相切。1，求圆的方程2，设直线ax-...

已知半径为5的圆的圆心在X轴上，圆心的横坐标是整数，且与4x＋3y-29=0相切。1，求圆的方程2，设直线ax-y+5=0与圆交于A，B两点，求实数a的取值范围，3，在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

1.设圆心为（a,0），所以|4a-29|/5=5，解得a=1，或a=13.5(舍)，∴圆为(x-1)²+y²=25；
2.圆心到直线AB的距离为|a+5|/√(a²+1)<5，解得a>5/12或a<0；
3.设直线为x+ay+C=0，根据题意它过点（1,0）和（-2,4），代入，得：1+C=0,-2+4a+C=0
解得C=1，a=3/4，满足a>5/12，所以存在。

Answer 2

1、设圆心坐标为（x，0)(x是整数)，
5/(x-29/4)=(29/3)/(145/12)或5/(29/4-x)=(29/3)/(145/12)，
x=27/2或x=1，圆心坐标为（1，0)；
圆的方程(x-1)^2+y^2=25。
2、把y=ax+5代入圆方程，
x^2-2x+1+a^2x^2+10ax+25=25
(a^2+1)x^2+(10a-2)x+1=0，
直线ax-y+5=0与圆交于A，B两点，
(10a-2)^2-4(a^2+1)>0
a>5/12或a<0。
3、点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB，直线l过圆心，
直线l为(x-1)/(-2-1)=(y-4)/(0-4)
4x+3y-16=0，斜率为-4/3；
直线ax-y+5=0的斜率为3/4，即a=3/4>5/12，存在实数a。

Answer 3

设圆心M(t,0)，由点到直线距离及相切，得|4t-29|/5=5，可求得整数t=1，圆(x-1)^2+y^2=25
直线ax-y+5=0与圆交，则|a+5|/sqr(a^2+1)<5得a<0或a>5/12
直线MP斜率为(4-0)/(-2-1)=-4/3，此时a=3/4，不符合条件故不存在。

Answer 4

解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以，即|4m-29|=25．
即4m-49=25或4m-49=-25，
解得m=或m=1，
因为m为整数，故m=1，
故所求的圆的方程是（x-1）2+y2=25；
（2）设符合条件的实数a存在，
∵a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得．
经检验时，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，
故存在实数，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB