Question

高数中的微分方程题，求大神解答

y″+y＝xcos2x是怎么解的

Answer 1

特征根 ±i， 故设特解 y = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x
y' = acos2x-2(ax+b)sin2x +csin2x+2(cx+d)cos2x
= (2cx+2d+a)cos2x - (2ax+2b-c)sin2x
y'' = 2ccos2x - 2(2cx+2d+a)sin2x -2asin2x - 2(2ax+2b-c)cos2x
= (-4ax-4b+4c)cos2x + (-4cx-4d-4a)sin2x
代入 y'' + y = xcos2x 得
-3a = 1， -3b+4c =0， -3c = 0， -3d-4a = 0
a = -1/3, c = 0, b = 0 , d = 4/9
特解 y = -(1/3)xcos2x + (4/9)sin2x

Answer 2

y=C[1] Cos[x] + C[2] Sin[x] + 1/18 (-9 x Cos[x]^2 + 3 x Cos[x] Cos[3 x] + 18 Cos[x] Sin[x] + Cos[3 x] Sin[x] + 9 x Sin[x]^2 - Cos[x] Sin[3 x] + 3 x Sin[x] Sin[3 x])

追问

用的是什么公式么

还是不明白

追答

把答案二阶求导，就明白了！