Question

在三角形abc中 角A的平分线AD与BC相交于D，求证BD：DC=AB：AC

Answer 1

过A作AE⊥BC交BC于E，那么AE就是△ABC的BC边上的高，也是△ABD的BD边上的高，又是△ADC的DC边上的高，
∴有△ABD面积=BD×AE÷2，△ADC面积=DC×AE÷2
∴△ABD面积∶△ADC面积=BD×AE÷2∶DC×AE÷2=BD∶DC
过D作DF⊥AB交AB于F，得到△ADF，过D作DG⊥AC交AC与G，得到△ADG
∵∠DFA=∠DGA=90º，∠DAF=∠DAG（AD平分∠BAC），又AD=AD（公共边）
∴△AFD≌△AGD（角边角对应相等）
∴DF=DG（对应边）
△ABD面积=AB×DF÷2，△ADC面积=AC×DG÷2
∴△ABD面积∶△ADC面积＝AB∶AC
∴BD∶DC=AB∶AC（都等于△ABD和△ADC的面积之比）
证明完毕。

Answer 2

在△ABD中，根据正弦定理得
BD/AB=sin∠BAD/sin∠D
在△ACD中，根据正弦定理得
DC/AC=sin∠CAD/sin∠D
∵AD是外角平分线
∴∠BAC+2∠CAD=π
∴∠BAC+∠CAD=π-∠CAD
即∠BAD=π-∠CAD
∴sin∠BAD=sin(π-∠CAD)=sin∠CAD
∴sin∠BAD/sin∠D=sin∠CAD/sin∠D
即BD/AB=DC/AC
∴BD：DC=AB：AC