Question

如图所示,PA为圆O的切线,A为切点。过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交圆O于点B，延长BO与圆O

如图所示,PA为圆O的切线,A为切点。过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交圆O于点B，延长BO与圆O交于点D，与PA的延长线交于点E。

若tan∠ABE=1/2，求sinE的值。

老师说有8种解法，有多少都show出来吧！！谢谢

Answer 1

1.连接OA，∠AOE=2∠ABE，所以tan∠AOE=tan2∠ABE=2tan∠ABE/(1-tan∠ABE^2)=4/3.
所以AE/AO=4/3,因为PE为切线，所以OA垂直PE，设OA为3，AE为4，由勾股定理得OE为5，所以sinE=OA/OE=3/5。
2.sinE=sin(π/2-2∠ABE)=cos(2∠ABE)=2cos∠ABE^2-1.因为tan∠ABE=1/2，所以cos∠ABE=2/根号5，所以sinE=2*4/5-1=3/5。
3、tan∠ABE=1/2，所以tan∠OPA=tan∠ABE=1/2，所以OA=0.5AP=0.5BP。根据HL可证三角形OCA全等与三角形OCB，所以BC=AC，再根据SAS可证三角形ACP全等于三角形BCP，所以BP=AP,而且∠OBP=90°，所以sinE=BP/(BP+AE)=BP/(BP+OA/tan∠E)=1/(1+0.5/tan∠E)。另sinE=x，所以tanE=x/((1-x^2)^0.5),所以x=1/(1+(0.5*(1-x^2)^0.5/x))，解方程得x=1或x=3/5,又因为∠E不为90°，所以sinE=3/5。

Answer 2

（1）证明：连接OA ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO=90° ∵OA＝OB，OP⊥AB于C ∴BC＝CA，PB＝PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO＝∠PAO＝90° ∴PB为⊙O的切线 （2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t， ∴PA＝PB＝2 t 过A作AF⊥PB于F，则AF•PB=AB•PC ∴AF= t 进而由勾股定理得PF＝ t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

Answer 3

（1）证明：连接OA ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO=90° ∵OA＝OB，OP⊥AB于C ∴BC＝CA，PB＝PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO＝∠PAO＝90° ∴PB为⊙O的切线 （2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t， ∴PA＝PB＝2 t 过A作AF⊥PB于F，则AF•PB=AB•PC ∴AF= t 进而由勾股定理得PF＝ t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5