Question

已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）． （Ⅰ）若f′（1）=3，求a

已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．请问这题第二问答案解析当0小于2a/3小于2这种情况，是什么意思啊 和a有啥关系，

Answer 1

f（x）=x^2（x-a）
f'（x）=2x（x-a）+x^2=3x^2-2ax=x(3x-2a)
f'(x)的零点为x=0或2a/3，根据求极值的方法需要对2a/3与0的比较情况进行讨论
2a/3可能有几种情况（1）2a/3<=0，函数在0到2上为递增函数，可直接讨论（2）2a/3>0
第二种情况又可以再分开，当2a/3位于0到2之间时根据极值判断法，该函数在0到2上在2a/3处取得极小值，需对0和2处的函数值进行比较；
当2a/3大于等于2时，函数在0到2上递减也可直接讨论。
讨论主要还是依据导函数正负号与原函数单调性的关系进行的。所以会出现你问的这种情况。

Answer 2

解：（I）f'（x）=3x2-2ax．因为f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=2a3．
当2a3≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（2）=8-4a．
当2a3≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax=f（0）=0．
当0＜
2a3＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，
2a3]上单调递减，在[
2a3，2]上单调递增，从而fmax=
8-4a，0＜a≤2.0，2＜a＜3.​
综上所述，fmax=
8-4a，a≤2.0，a＞2.​