Question

已知函数f(x)=|x|(x-a),a为实数

（1）讨论f(x)在R上的奇偶性
（2）当a≤0时，求f(x)的单调区间
（3）在（2）的条件下，求函数f(x)在[-1,0.5]上的最大值

Answer 1

(1)a=0时，此函数位奇函数；a不等于0时，此函数是非奇非偶函数
首先，当x=0时，f(0)=0;
再根据奇函数和偶函数的定义假设此函数分别为偶函数或奇函数，即分别满足f(x)=f(-x)或f(x)+f(-x)=0;
（2）x小于0时，f(x)=-x^2+ax=-(x-a/2)^2+(a^2)/4,
那么，x小于a/2时，函数单调递增，x大于a/2小于0时，函数单调递减
x大于0时，f(x)=x^2-ax=(x-a/2)^2-(a^2)/4,
那么，因为a小于等于0，x大于0时，函数单调递增
综上，x小于a/2时，函数单调递增，x大于a/2小于0时，函数单调递减，x大于0时，函数单调递增
（3）x大于0时，最大值A在x=0.5处取到，是A=0.25-0.5a;
x小于0时，分类讨论
a/2大于等于-1小于0时，即a大于等于-2小于0时，最大值B在x=a/2处取到，为B=(a^2)/4
a/2小于-1时，即a小于-2时，最大值在x=-1时取到，C=-1-a.
A-B=-(a+1)^2/4+1/2,因为a大于等于-2，小于0，所以当a=-2或0时，A-B有最小值1/4，当a=-1时，A-B有最大值1/2.可知，A大于B，A为最大值；
A-C=0.5a+1.25，因为a小于-2，A-C=0时，a=-2.5；
那么，当a小于-2.5时，A-C小于0，A小于C，C为最大值；当a大于-2.5，小于-2时，A大于C，A为最大值；
综上，a大于-2.5时，最大值为0.25-0.5a；a小于-2.5时，最大值为-1-a

Answer 2

1）当 a=0 时，f(x)=|x|*x ，由 f(-x)=|-x|*(-x)= -|x|*x ，因此为奇函数；
当 a≠0 时，由 f(a)=0 ，f(-a)= -2a*|a|≠0 ，因此函数既不是奇函数，也不是偶函数。
2）当 a≤0 时，f(x)=｛-x^2+ax(x<0) ；x^2-ax(x>=0) ，
由 -x^2+ax=-(x+a/2)^2+a^2/4 ，x^2-ax=(x-a/2)^2-a^2/4 ，得，
函数在（-∞，a/2）上为增函数，在（a/2，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数。
3）当 a<=0 时，由2）知，
若 a<-2 时，函数在 [-1，0] 上为减函数，在 [0，0.5] 上为增函数，
若 -2<=a<=0 时，函数在 [-1，a/2] 上为增函数，在 [a/2 ，0] 上为减函数，在[0，0.5] 上为增函数，

因为 f(-1)= -1-a ，f(0.5)=1/4-a/2 ，f(a/2)=a^2/4 ，
令 -1-a>1/4-a/2 ，则 a<-5/2 ，
综上，
当 a<=-5/2 时，函数在 [-1，0.5] 上的最大值为 f(-1)= -1-a ；
当 -5/2<a<=0 时，函数在 [-1，0.5] 上的最大值为 f(0.5)=1/4-a/2 。

Answer 3

⑴当a=0时，奇函数；当a≠0时，非奇非偶。
⑵当x≥0时，f(x)=x(x-a)
当x＜0时，f(x)=x(a-x)
画出分段函数图像易得 f(x)在（-∞，a/2)递增，在（a/2,0)递减，在（0，+∞）递增
⑶①当a/2≤-1即a≤-2时f(0.5)=0.25-0.5a f(-1)=-(a+1) f(0.5)-f(-1)=0.5a+1.25比较一下差值与零的大小即可
②当-2＜a≤0时，{f(a/2) ,f(0.5)}max=f(x)max
注：类比于二次函数轴动区间定分类讨论思想，此为单调区间动区间定。（是前者的推广理解，看图分类讨论即可，很容易。）