Question

在平面直角坐标系xoy中，点P(a,b)(a>b>0)为动点，F1,F2分别为椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点，已知三角形

F1PF2为等腰三角形，（1）求椭圆的离心率（2）设直线与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足AM.MB=-2，求点M的轨迹方程。

Answer 1

1
F1PF2为等腰三角形，若PF1=PF2，则P点在Y轴上，条件不够，不能求出离心率，
所以PF2=F1F2，
所以PF2=2c，PF2^2=(a-c)^2+b^2=4c^2，把b^2=a^2-c^2
即：a^2-2ac+c^2+a^2-c^2=4c^2，整理得：2c^2+ac-a^2=0
同除a^2得：2e^2+e-1=0，十字相乘：(2e-1)(e+1)=0，得：e=1/2
2
直线PA为
y=b/(a-c) * x-bc/(a-c) a=2c
y=b/c*x-b
带入椭圆方程得A交点为
x=8/5 * c y=3/5 * b
B为（0，-b）
设M（x,y）
AM=(x-8/5*c,y-3/5*b)
BM=(x,y+b)
AM*BM=-2
(x-8/5*c)*x+(y-3/5*b)*(y+b)=-2
x^2-8/5cx+y^2+2/5by-3/5b^2+2=0

Answer 2

补充一下、因为P(a，b)(a＞b＞0)，所以P点不可能在y轴上