Question

求极限lim(x趋近与a)(sinx/sina)^(1/x-a)

Answer 1

当x趋于a时，（sinx/sina）^1/(x-a)=e^[1/(x-a)ln(sinx)-ln(sina)]
，因为属于0/0型，所以对(lnsinx-lnsina)/(x-a)使用洛必达法则上下同时求导。d(lnsinx-lnsina)/d(x-a)=ctgx，所以当x趋于a时，原式=e^cotx=e^cota
PS:dlnsinx=d(sinx)/sinx=cosx/sinx=cotx

Answer 2

x→a,sinx-sina→0，sin(x-a)→0，故满足洛必达法则
x→a,(sinx-sina)'/[sin(x-a)]'=cosx/cos(x-a)→cosa
故极限为cosa
注明：
满足洛必达法则的条件：
分子分母同时趋于0或趋于无穷
其实导数的定义可知,这个极限就是y=sinx函数在x=a出的导数，故y'=(sinx)'=cosx,当x=a,y'=cosa