Question

为什么A可逆，则R(AB)=R(B)?

Answer 1

假设A为n*m、B为m*s、AB为n*s，
因为A可逆，所以r(A)=n，又因为r(AB)<=min(r(A),r(B))=min(n,r(B))【重要定理一】;
①假设r(B)
=r(A)+r(B)-n【重要定理二】所以，r(AB)>=n+r(B)-n=r(B);根据夹逼准则，r(AB)=r(B);
②假定r(B)>n.则r(AB)<=n,而又因为r(AB)>=r(B)>n,则矛盾;
③假定r(B)=n.显然，r(AB)=r(B);
扩展资料：
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵
，它的一个元素：
并将此乘积记为:

.
例如：
矩阵的乘法满足以下运算律：
结合律：
左分配律：
右分配律：
矩阵乘法不满足交换律。
n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量
，对应的二次型
。
若
，就称A为正定矩阵。若
则A是一个负定矩阵，若
，则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵
。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。
参考资料：搜狗百科——矩阵