Question

入射光线经P(-1,2)射向x轴反射后与圆(x-3)^2+(y-2)^2=1相切,若切点为T，则从点P到入射切点T的光程

Answer 1

入射光线经P(-1,2)射向x轴反射后与圆(x-3)²+(y-2)²=1相切,若切点为T，则从点P到入射切点T的光程（光线经过的路程）是多少？
解：点P（-1，2)的镜像点为P₁(-1，-2)，点P₁到圆心(3，2)的距离d=√[(3+1)²+(2+2)²]=4√2.
故︱P₁T︱=√(d²+1)=√33，︱P₁T︱就是从点P到入射切点T的光程。
注：设光线照射到x轴上的Q点，然后反射到切点T，按光线走最短路程的原理可知：光程S=PQ+QT，因为P₁与P关于x轴对称，故PQ=P₁Q，∴S=PQ+QT=P₁Q+QT，而P₁，Q，T
按上述作图法三点在一条直线上，是S的最小值。∴︱P₁T︱=√33就是光程。过P₁可向圆作两条切线，这两条切线一样长。

Answer 2

p关于y轴对称点是q(-1,-1)
所以反射光线过q
是反射光线斜率是k
则y+1=k(x+1)
kx-y+k-1=0
圆心(4,4),半径=1
反射光线和圆相切
圆心到切线距离等于半径
所以|4k-4+k-1|/√(k^2+1)=1
|5k-1|=√(k^2+1)
(5k-5)^2=k^2+1
25k^2-50k+25=k^2+1
12k^2-25k+12=0
(3k-4)(4k-3)=0
k=3/4,k=4/3
所以3x-4y-1=0
4x-3y+1=0
他们和y轴的交点分别是(0,-1/4),(0,1/3)
则入射光线也过此点
所以(y-0)/(-1-0)=(x+1/4)/(1+1/4)
(y-0)/(-1-0)=(x-1/3)/(1-1/3)
有两解
4x+5y+1=0
3x+2y-1=0