Question

已知数列{an}，{bn}满足：a1＝9/2，2a（n＋1）－an＝6×2^n，bn＝an－2^（n＋1）...

已知数列{an}，{bn}满足：a1＝9/2，2a（n＋1）－an＝6×2^n，bn＝an－2^（n＋1）
求证：数列{bn}为等比数列，并求数列{an}{bn}的通项公式

Answer 1

由于2a（n＋1）－an＝6×2^n， 所以2a（n＋1）＝an+6×2^n
而bn＝an－2^（n＋1），
所以b(n+1)/bn=(a(n+1)-2^(n+2))/(an-2^(n+1))
=[1/2*an+3*2^n-2^(n+2)]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an+6*2^n-2^(n+2))]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an+(6-4)*2^n)]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an-2^(n+1))]/(an-2^(n+1))=1/2
所以数列{bn}为等比数列,首项b1=a1-2^2=1/2,公比是1/2的等比数列.
因此bn=(1/2)^n
从而an=bn+2^(n+1)=1/2^n+2^(n+1)

Answer 2

因为2a（n＋1）－an＝6×2^n， 所以2a（n＋1）＝an+6×2^n
又因为bn＝an－2^（n＋1），
b(n+1)/bn=(a(n+1)-2^(n+2))/(an-2^(n+1))
=[1/2*an+3*2^n-2^(n+2)]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an+6*2^n-2^(n+2))]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an+(6-4)*2^n)]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an-2^(n+1))]/(an-2^(n+1))
所以数列{bn}为等比数列因此bn=(1/2)^n
从而an=bn+2^(n+1)=1/2^n+2^(n+1)