Question

证明2个无理数中间，有一个有理数

Answer 1

设a,b是无理数，那么考虑c=(a+b)/2，如果c是有理数的话命题得证。否则，取n为大于log(|c-a|/2)的任意正整数，令d是c的十进制小数四舍五入到小数点后第n位的一个有限小数，容易知道d是有理数。这样的话，|d-c|<=|c-a|/2，也就是说d这个有理数在a,b之间，命题得证。
综上所述，任意两个无理数中间必定有一个有理数。
如果对证明还有问题的话欢迎给我发消息~~~

Answer 2

这个太简单了吧，反证法搞定。
一下字母m,n,i,j都是整数，其中n和j是非0整数。
把有理数表示为
m/n
，无理数表示为a，有理数和无理数的和为
m/n
+
a。
假设和是有理数，那么这样一个有理数可以表示为分数
i/j，
即
m/n
+
a
=
i/j
于是a
=
i/j
-
m/n
=
(in
-
jm)
/
jn
因为mnij皆为整数，所以
(in
-
jm)
是整数，jn也是整数
也就是说
a
可以表示为两个整数相除，和a是无理数的已知条件矛盾
所以，m/n
+
a
为无理数

Answer 3

证明：以下用{x}表示大于x的最小整数。由于可以同时+1平移，故不妨在正数范围内讨论。
记两个无理数为a和b，0<a<b。记d=b-a
记N={1/d}，则1/N<d.
记M={Na}，那么M/N>a，(M-1)/N<a
所以M/N=(M-1)/N+1/N<a+d=b
可见M/N就在无理数a和b之间。
就是以一个比两个无理数的间距还小的有理数为单位来刻划数轴，那么在两个无理数间至少有一个刻划点。否则，如果刻划点都在区间外，区间就包于1个单位长中，这就成短包长了。