Question

已知函数f（x）=3x^3-x^2+ax-5在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是

Answer 1

函数f（x）=3x^3-x^2+ax-5在区间[1,2]上单调递增，
也就是在此区间上导函数值大于或等于0，
即f’（x）=9x^2-2x+a>=0在[1,2]恒成立。因为f'(x)开口向上，对称轴x=1/9,所以f'(x)在[1,2]上增，所以只要
f'(1)>=0，解出a>=-7。
（注：也可以分离参数，得a>=-9x^2+2x, 令u=-9x^2+2x,则u在[1,2]上减，u的最大值为u(1)=-7，所以a>=-7)

Answer 2

函数f（x）=3x^3-x^2+ax-5在区间[1,2]上单调递增，
也就是在此区间上导函数值大于0，
即f’（x）=9x^2-2x+a>0在[1,2]恒成立
f‘（x）是二次函数，（负无穷大，1/9]导函数单调递减，[1/9，正无穷大）导函数单调递增，
[1，2]包含于[1/9，正无穷大）
f’（1）=9-2+a-5>=0
即a>=-2

Answer 3

f（x）=3x^3-x^2+ax-5
f'（x）=9x^2-2x+a
f'（x）函数为二次函数，开口向上，
当其判别式小于等于零即a>=1/9时，二次函数恒>=0,f(x)单调递增，与题意相符。
当其判别式大于零即a<1/9时，二次函数两个根为[1-根号下(1-9a)]/9和[1+根号下(1-9a)]/9，
两根分别位于x轴上1的左边和右边，所以该二次函数在[1,2]区间上不可能恒为正数，所以函数f(x)在该区间上不是单调递增，与题意不符符。
最终a>=1/9。

Answer 4

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