Question

一道线性代数基础题？

Answer 1

我来试试吧。。 1、解： （1）∵a^3=0 ∴|a|^3=0 ∴|a|=0，即|a-0e|=0,∴0是矩阵a的一个特征 设λ为矩阵a的任一特征值，则存在非零向量x，使得ax=λx 上式两边同左乘矩阵a，得aax=(a^2)x=a(λx)=λax=(λ^2)x ∴λ^2是3阶矩阵a^2的特征值。同理，λ^3是矩阵a^3的特征值。 即(a^3)x=(λ^3)x 又∵a^3=o,∴(a^3)x=(λ^3)x=0 ∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0 即三阶方阵a的3个特征值全为0. （2）这题我觉得不能。 ∵矩阵a能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。 对于题中的三阶方阵a，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0. 下面用反证法证明。 假设三阶方阵a能与对角阵相似。 则a存在3个线性无关的特征向量。 则齐次线性方程组ax=0的基础解系中有三个向量，即ax=0的解集的秩为3 设ax=0的解集为s，则r(a) r(s)=n=3 ∵r(s)=3,∴r(a)=0 即矩阵a的秩为0.当且仅当a=o 又∵根据题设条件，a^2≠o,显然a≠o，与上面推出的a=o矛盾 ∴假设不成立，即a不能和一个对角阵相似 2、证明： 设齐次线性方程组ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r 设向量组β1，β2，...，βn是与ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组 ∵向量组β1，β2，...，βn线性无关 ∴向量组的秩r(β1，β2，...，βn)=n 又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价 ∴r(α1，α2，...，αr)=r(β1，β2，...，βn)=n 即n=r 向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr 且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示 即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1 ki2*α2 ... kir*αr ∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组ax=0的一个解向量 又∵齐次线性方程组ax=0的解集中的最大无关组的秩为r ∴向量组β1，β2，...，βr是ax=0的解集中的一个最大无关组 即向量组β1，β2，...，βr是ax=0的一个基础解系，命题得证 不懂写的对不对。我也刚学的。错了请指教。。