小球1米高度自然下落，掉在无弹性平面上，什么条件时可反弹最高？
小球的反弹高度与直径无关，与两者的材质有关。当小球从高处坠落时，势能转化为小球和地板的动能和弹性能。小球的回弹高度与小球和地板的弹性能有关，与材料常数——的弹性模量有关。弹性模量越高，弹性能越小，回弹越高。我来简单算一下。
1.模型建立
小球半径0.1m，地面6*6*2m。为了缩短计算时间，采用了1/4对称模型。在小球与地面碰撞过程中，势能转化为应变能储存在小球和地面。对于小球，来说，应变能量仍然属于他自己的能量，并没有丢失。真正损失的能量是传递到地面的应变能，这就是为什么小球的反弹高度会随着每次撞击而降低。因此，小球模型采用刚体模型，即忽略了小球，的应变能，这样可以加快计算过程。小球的密度为7800千克/立方米，由钢制成。
地面由密度为7800kg/m3、弹性模量为200GPa、泊松比为0.3的钢材制成，忽略塑性变形。虽然忽略了材料的塑性，但地面的弹性恢复能量不能及时传递到小球，所以小球损失了一些能量。
2.计算和分析
一般来说，自由落体的反弹过程可以分为：1)下降阶段，2)撞击阶段，3)反弹阶段。然后连续重复以上三个过程，直到能量耗尽。
1)下降阶段
假设小球从1米的高度自由下落，此时空气阻力可以忽略不计。然后根据能量守恒可以计算出降落速度和时间：降落时间约为0.452s，降落速度约为4.427m/s，g为9.8m/s2。这两个参数与小球本身的重量无关。
2)冲击阶段
冲击阶段的过程比较复杂，很难获得冲击过程中小球的准确位置，必须通过有限元软件计算。在撞击的初始状态下，小球的撞击速度为4.47米/秒，势能完全转化为动能，约为10MJ，m为小球的质量，在撞击过程中，小球和地面都会发生形变，一部分能量会以应变能的形式储存起来，将小球的动能进行分割，从地面获得的应变能向下传递，在撞击过程中无法及时传递回小球。小球的速度从4.427米/秒急剧下降到零，然后从零反弹得到最初的反弹速度。下图中，冲击将从0.45秒开始，与理论计算时间基本一致。
3)反弹阶段
小球从离开地面得到一个初速度，然后根据能量守恒，得到小球反弹的最高高度。这个过程与小球的质量无关
3.结果分析我算了两次，一次用钢(弹性模量200GPa)，一次用‘刚体’(弹性模量20000GPa)。计算时间为1s，估计1s内至少能弹跳一次。地面由钢制成的结果如下：速度在0.45秒内约为4.403米/秒，在0.46秒内约为4.219米/秒.由于输出时间间隔，无法准确捕获撞击时间点。
影响过程如下：
对于“刚体”模型，0.45秒的速度也是4.344米/秒，0.46秒的速度是4.131米/秒，在表面上，大弹性模量的速度小于小弹性模量的速度。然而，由于软件结果的输出时间间隔，影响的开始和结束状态没有被准确地捕获。由于弹性模量大的物体相互作用时间较短，0.46s不能作为离地时间。其实弹性模量越大，材料的响应速度越快，破土速度越大，所以回弹高度更接近初始高度。当弹性模量增大时，计算时间呈指数增长。从0.45s的速度可以看出，大弹性模量的计算误差较大。
影响过程如下：
对比两张冲击图，很明显，弹性模量大的物体反应更快，应力能迅速扩散出去，反弹更快。对于绝对刚体来说，地面不会有变形，动能也不会损失。
4.摘要
通过计算可以看出，球体在刚体模型中的反弹速度和撞击速度几乎相同，而球体在钢地面模型中的反弹速度会有所损失。即弹性模量是影响回弹高度的决定性因素，弹性模量越大，回弹高度越接近初始值。
因为计算时间太长，一晚上大概需要6-7个小时。所以对于更精确的模型，我就不说了。有兴趣的同学可以用理论计算的撞击速度来看看反弹后的地速，更有说服力。
