过抛物线y^2=4x的焦点F作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标...
过抛物线y^2=4x的焦点F作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,求|AB|...
过抛物线y^2=4x的焦点F作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,求|AB|
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2个回答
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因为线段AB中点的横坐标为3，则x1+x2=6
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
|AB|=|AF|+|BF|=A到准线距离+B到准线距离=x1+p/2+x2+p/2=x1+x2+p=6+2=8
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
|AB|=|AF|+|BF|=A到准线距离+B到准线距离=x1+p/2+x2+p/2=x1+x2+p=6+2=8
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解法一：利用抛物线的定义
|AB|=|AF|+|BF|
=xA+1+xB+1
=2*3+2
=8
解法二：做参考，本题此法不好
F(1,0)
画个图，可以知道直线AB的斜率存在
设直线AB：y=k(x-1)
与y²=4x联立
得 k²(x-1)²=4x
k²x²-(2k²+4)x+k²=0 （**）
∴ xA+xB=(2k²+4)/k²=6
∴ k²=1
（**）为x²-6x+1=0
xA+xB=6,xA*xB=1
(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=36-4=32
|AB|=√(1+k²)|xA-xB|=√2*√32=8
|AB|=|AF|+|BF|
=xA+1+xB+1
=2*3+2
=8
解法二：做参考，本题此法不好
F(1,0)
画个图，可以知道直线AB的斜率存在
设直线AB：y=k(x-1)
与y²=4x联立
得 k²(x-1)²=4x
k²x²-(2k²+4)x+k²=0 （**）
∴ xA+xB=(2k²+4)/k²=6
∴ k²=1
（**）为x²-6x+1=0
xA+xB=6,xA*xB=1
(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=36-4=32
|AB|=√(1+k²)|xA-xB|=√2*√32=8
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