Question

已知向量a向量b向量c在同一平面上，且向量a=(2,1)

1)若向量a垂直向量c，且|向量c|=2倍根号5，求向量c的坐标;2)向量b=(1,m)，且向量a+2向量b与向量a-2向量b平行，求向量a与向量b的夹角

Answer 1

（1）解：
向量a=(2,1)
则与向量a垂直的向量可以是向量d=(1,-2)
则 向量c与向量d平行
向量c= k向量d
|向量c|=|k|*向量d
2√5=|k|*√5
所以 k=±2
所以向量 c=(2,-4)或向量c=(-2,4)

(2) 向量a+2向量b=(4,1+2m)
向量a-2向量b=(0, 1-2m)
向量a+2向量b与向量a-2向量b平行
所以 1-2m=0
所以 m=1/2
向量a=(2,1), 向量b=(1,1/2)
两个向量平行，且方向相同
所以 向量a,向量b的夹角为0°

Answer 2

a=(2,1)
let c(x,y)
a.c =0
(2,1).(x,y)=0
2x+y=0
|c|^2 = 20
x^2 +y^2 =20
x^2 + 4x^2 =20
x = 2 or -2
x=2 , y =-4
x=-2, y =4
c=(2,-4) or (-2,4)
(2)
a=(2,1), b=(1,m)
(a+2b)//(a-2b)
=> a+2b = k(a-2b)
(4,1+2m)= k(0,1-2m)
=> 1-2m=0
m =1/2
b=(1,1/2)
let a与b的夹角=x
|a|=√5, |b| = √5/2
a.b =|a||b|cosx
(2,1)(1,1/2) = √5(√5/2)cosx
2+1/2 = (5/2)cosx
cosx = 1
x = 0

Answer 3

1） 设向量c为（x y),由已知 向量a与向量c的数量积为0 得2x+y=0.且由|向量c|=2倍根号5得x^2+y^2=20.联立方程得x=2 y=-4或x=-2 y=4 即坐标为（2 -4）或（-2 4）
2) 由已知向量a+2向量b（4 1+2m)与向量a-2向量b(0 1-2m)平行得4(1-2m)=0(1+2m)即m=0.5 向量b为（1 0.5）则cos(a b)=向量a与向量b的数量积除以(|向量a|乘以|向量b|)=1即夹角=0

Answer 4

（1）答案是（-2,4)或者（2，-4）