Question

如何求矩阵的特征值和特征向量

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
1-λ 2 4
2 -2-λ 2
4 2 1-λ 第1列减去第2列×2
=
-3-λ 2 4
6+2λ -2-λ 2
0 2 1-λ 第2行加上第1行×2
=
-3-λ 2 4
0 2-λ 10
0 2 1-λ
=(-3-λ)(λ^2-3λ-18)=0
解得λ=6，-3，-3
当λ=6时，
A-6E=
-5 2 4
2 -8 2
4 2 -5 第1行加上第3行，第3行减去第2行×2
～
-1 4 -1
2 -8 2
0 18 -9 第2行加上第1行×2，第3行除以9，交换第2和第3行，第1行×(-1)
～
1 -4 1
0 2 -1
0 0 0 第1行加上第2行×2
～
1 0 -1
0 2 -1
0 0 0
得到特征向量为(2,1,2)^T

当λ= -3时，
A+3E=
4 2 4
2 1 2
4 2 4 第1行减去第3行，第3行减去第2行×2，交换第1和第2行
～
2 1 2
0 0 0
0 0 0
得到特征向量为(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T
所以矩阵的特征值为6，-3，-3
对应的特征向量为(2,1,2)^T，(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T

Answer 2

如何理解其意义？

直扣灵魂，

我真的曾经理解过它的意义吗？？？

招了吧，真没有！

原在数学系时，教室里，对着黑板一堆密密麻麻的公式，我也是时常神游天外的主......

考试前，为了避免挂科才熬夜突击，对着书本一一比划，至少要演算两到三张稿纸，才勉强能记住方法、步骤，哪还管得着它的意义？

这种突击式训练记忆，忘得也快，就像写代码一样，过一阵就忘了！

课堂上，老师大多是照本宣科。

想当年，

也许是知识阅历不够，很难理解其意义，

也许是努力不够，被足球耽误了。

也许是天赋所限，不能顿悟！

...…

总之，可以确定，那时我肯定是没有理解它的意义的。

不知道现在有多少学生还是一样？

在学习一些抽象的数学工具时，代换三、四步之后就不知所云了，

往往只能靠记忆强撑，而这种记忆最多维持一周，年轻时可能长点，后来，说忘就忘了......。

有极少数天才，能在抽象世界里面一直转，抽啊抽，一直抽......并最终以此为业。

而大多数人（99+%），一到毕业，就尴尬，因为真的不理解其意义，

看似学了些高深的数学知识，只会做题，不会运用，根本不理解公式指代符号的现实映射！

进而职场上，若有其它方面训练缺失的短板，一旦显现后，囧是必然！

我想，这不单是数学教育的问题，也是其它各方面可能会尴尬的本源：

不理解其意义！！！

好，扯远了，回到正题，来看灵魂之问：

如何理解特征值的意义？
最近才有些感悟，和大家分享一下。

说到特征值[公式]，数学上，基本是指矩阵的特征值。

说到矩阵，高等代数几乎一整本书都在讲它，最著名的数学软件叫Matlab，直译为矩阵实验室，足见其高深、复杂！

而这么复杂混乱的东西确有一个特征值， 难道不奇怪？

Answer 3

Answer 4