Question

设函数f（x）=sinx2+cosx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明；当...

设函数f（x）=sinx2+cosx． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明；当a≥13时，对任何x≥0，都有f（x）≤ax．

Answer 1

解（Ⅰ）f′(x)=(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)(2+cosx)2=2cosx+1(2+cosx)2．
当2kπ-2π3＜x＜2kπ+2π3（k∈Z）时，cosx＞-12，即f'（x）＞0；
当2kπ+2π3＜x＜2kπ+4π3（k∈Z）时，cosx＜-12，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间(2kπ-2π3，2kπ+2π3)（k∈Z）是增函数，
f（x）在每一个区间(2kπ+2π3，2kπ+4π3)（k∈Z）是减函数．
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），
则g′(x)=a-2cosx+1(2+cosx)2
=a-22+cosx+3(2+cosx)2
=3(12+cosx-13)2+a-13．
故当a≥13时，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，
即f（x）≤ax．