Question

设函数f(x)=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）若x=-1为函数f(x)e^x的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)图像是

有4张图，由于等级太低不能上传图片，我描述一下
A.开口向上的抛物线，顶点在（-1,0），与y轴正半轴相交 B.开口向下抛物线顶点在（-1,0），与y轴负半轴相交 C.开口向下抛物线顶点在第一象限，与y轴负半轴相交（与x轴有两个交点） D.开口向上抛物线顶点在第三象限（与x轴有两个交点）
希望有过程，谢谢！！

Answer 1

应该是D，抛物线是不是与y轴负半轴相交啊。
取g(x)=f(x)e^x，
对其求导g(x)'=f(x)'e^x + f(x)e^x = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx + c)e^x
由x=-1是g(x)的一个极值点得知，g(x = -1)'=0。
所以把x = -1代入可得
(-2a + b)e^-1 + (a - b + c)e^-1 = 0
整理得
(-a +c)e^-1 = 0
由于e^-1 不等于0
所以
-a + c = 0
即 a = c
所以抛物线的形状是
1.如果开口向上，则a > 0，所以c > 0，所以必与y轴正半轴相交
2.如果开口向下，则a < 0，所以c < 0，所以必与y轴负半轴相交

希望对你有帮助。。。

追问

答案是D，能告诉我过程吗？谢谢

追答

给你重新编辑了，不知道你学过求导没有啊

追问

学过，我也算到这一步了，不过还是很困惑，D的话也是开口向上，顶点在第三象限，和x轴有两个交点，应该也是和y轴正半轴相交，为什么选这个，求指点

追答

你说的D选项，抛物线与y轴的正半轴相交，还是与y轴的负半轴相交啊？你没说清楚，能不能把D选项详细说明一下啊

追问

D。开口向上顶点在第三象限，对称轴在X=-1的左边，与y轴正半轴相交
顶点坐标是（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）a>0,由选项D的图知对称轴在y轴左侧-b/2a0,b>0,(4ac-b^2)/(4a)=(4b^2-b^2)/4a=3b^2/4a>0,顶点应该在第2象限，所以选D
这是我刚刚想到的，对不对？多亏你给我指点，我才想到，谢谢

追答

给你补充一下，我又看了看，按你的分析
对于D。开口向上顶点在第三象限，对称轴在X=-1的左边，与y轴正半轴相交
顶点坐标是（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），其中a=c>0,
由选项D的图知对称轴在 x= -1 左侧，所以-b/2a2a
也即
b^2>4a^2
所以
4a^2-b^20的情况下有以下结果
(4ac-b^2)/(4a)=(4a^2-b^2)/4a<0
所以
顶点应该在第3象限，D选项也没错啊，又不选D了
呵呵，按此方法，你再分析分析其它选项吧，没图，我的猜测可能太多了，不好意思，没帮上忙，见谅！

Answer 2

解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1为函数f（x）ex的一个极值点可得，-1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=-
b
2a
，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-
b
2a
＞0⇒b＞0⇒f（-1）＜0不矛盾，
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-
b
2a
＜-1⇒b＞2a⇒f（-1）＜0于原图中f（-1）＞0矛盾，D不对．
法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立
故选 D．

Answer 3

D选项，由图像可知，a>0，它与f(0)=a>0吻合，又对称轴-b/(2a)<0得b>0，
根据判别式b^2-4ac=b^2-4a^2>0（由题设条件知a=c），得b>2a,
又因为f（-1）=2a-b>0（由图可知），故而b<2a，
显然两者相矛盾，故D选项错误

Answer 4

对其求导g(x)'=f(x)'e^x + f(x)e^x = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx + c)e^x
由x=-1是g(x)的一个极值点得知，g(x = -1)'=0。
所以把x = -1代入可得
(-2a + b)e^-1 + (a - b + c)e^-1 = 0
整理得
(-a +c)e^-1 = 0
由于e^-1 不等于0
所以
-a + c = 0
即 a = c
区分C、D
f(x)图像与x轴有两个交点，即ax^2+bx+c=0有两个根，x1*x2=c/a=1,所以C选项正确，选择D

Answer 5

这个题到底是怎么了？