Question

已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则丨m－n丨＝？要过程～...

已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则丨m－n丨＝？要过程～谢谢！

Answer 1

(x²－2x＋m)(x²－2x＋n) = 0有四个根，其中两根为x²－2x＋m=0的两根，另外两根为x²－2x＋n=0的两根。设x1，x2为x²－2x＋m=0的两根，x3，x4为x²－2x＋n=0的两根。根据韦达定理，
x1 + x2 = 2，
x3 + x4 = 2。
可见x1与x2的和等于x3与x4的和。由于x1,x2,x3,x4可组成一等差数列，注意到4个数组成的等差数列中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和。可知x1，x2分别为等差数列中的第一和第四项或分别为等差数列中的第二和第三项。不妨设x1，x2分别为第一和第四项，则x3和x4分别为第二和第三项，并令公差为d。则有
x1 = 1/4，x2 = 1/4 + 3d，x3 = 1/4+d，x4 = 1/4 + 2d。
根据x1 + x2 = x3 + x4 = 2可知，1/4 + 1/4 + 3d = 2，即d = 1/2。
根据韦达定理，
m = x1 x2 = 1/4(1/4 + 3d) = 1/16 + 3d/4；
n = x3 x4 = (1/4 + d) (1/4 + 2d) = 1/16 + 3d/3 + 2d²。
则|m - n| = 2d² = 1/2。

Answer 2

设四个根从小到大为x1,x2,x3,x4
因其中二根之和为2，另二根之和亦为2，而x1+x4=x2+x3
所以x1+x4=x2+x3=2，则x4=2-1/4=7/4,d=(x4-x1)/3=1/2
于是x2=3/4,x3=5/4
m=x1*x4=7/16,n=x2*x3=15/16
|m-n|=1/2

Answer 3

(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0
x^2-2x+m=0或x^2-2x+n=0
x^2-2x+1=1-m
(x-1)^2=1-m
x=1+√(1-m)或x=1-√(1-m)或x=1+√(1-n)或x=1-√(1-n)
假设m<n，即1-m>1-n，√(1-m)>√(1-n)
则这4个根从小到大排列为1-√(1-m)，1-√(1-n)，1+√(1-n)，1+√(1-m)
1-√(1-m)=1/4
√(1-m)=3/4
1-m=9/16
m=7/16
因为这4个根组成一个等差数列
所以2[1-√(1-n)]=1-√(1-m)+1+√(1-n)
2-2√(1-n)=1/4+1+√(1-n)
√(1-n)=1/4
1-n=1/16
n=15/16
|m-n|=|7/16-15/16|=1/2