Question

在△ABC中，若向量AB²=向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA+向量CB，则△ABC是？（要求过程）

Answer 1

基本思路是正确的，我看楼上那个有的步骤写的不太恰当，在我看来有的步骤是运用了射影定理（a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。 ） 因为数量积不同于常数的相乘，是在绝对值相乘基础上再与夹角的余弦值相乘；大写字母表示边不容易看出关系就化成小写字母表示，例如AB=c AC=b BC=a 题中的式子就可以表示成c^2=|c||b|cosA+|c||a|cosB+|b||a|cosC=|c|(|b|cosA+|a|cosB)+|b||a|cosC=|c|^2+|b||a|cosC
式子两边消去c^2就得到|b||a|cosC=0 即（向量AC）点乘（向量BC）=0
显然AC与AB垂直，故证出为直角三角形。

PS：式子可能看的复杂，简单说下思路，
①将式子表示出来（字母越少越容易看出解法，当然就原题大写字母一样是可以做的）
②等式右边的前两项把AB（也就是c边）提出来，括号里的式子运用射影定理 c=a·cosB+b·cosA（此处是要用这个式子表示）
③等式两遍消去c^2，得到|b||a|cosC=0 即（向量AC）点乘（向量BC）=0 也就得到边AC与边BC垂直的关系了。

希望对童鞋们的理解有帮助。

Answer 2

向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA·向量CB
=向量AB·向量AC+向量AB·向量CB+向量CA·向量CB
=向量AB(向量AC+向量CB)+向量CA·向量CB
=向量AB^2+向量CA·向量CB
=向量AB²
所以向量CA·向量CB=0向量
CA⊥CB
△ABC是
直角三角形