Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,BD⊥DC,若AD=2,BC=4,则梯形ABCD面积最大值为____

2011年陕西中考数学副题，填空第16题，求具体解答过程。

Answer 1

∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD。
∵BD⊥DC，∴sin∠CBD＝CD/BD，∴sin∠ADB＝CD/BC。
∴△ABD的面积＝（1/2）AD×BDsin∠ADB＝（1/2）AD×BD×CD/BC。
　△BCD的面积＝（1/2）BD×CD。
∴梯形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△BCD的面积＝（1/2）BD×CD（AD/BC＋1）。

由勾股定理，有：BD^2＋CD^2＝BC^2＝16，而BD^2＋CD^2≧2BD×CD，∴BD×CD≦8。
∴梯形ABCD的面积≦（1/2）×8（AD/BC＋1）＝4（2/4＋1）＝6。
即：梯形ABCD面积最大值为 6。

Answer 2

设梯形的高为h，∠DBC=α
则 BD=BC*cosα
h=BDsinα=BCsinα*cosα=(4sin2α)/2=2sin2α
梯形面积=S△ABD+S△ABCD=AD*h/2+BC*h/2
=2*h/2+4*h/2=3h=3*2sin2α=6sin2α
当sin2α=1时，梯形面积取最大值=6